定理与证明
定理（幂序不等式）.
设 k_i>0,;x_i>0 且 x_i\neq1;(i=1,\dots,n)，定义函数
f(t)=\sum_{i=1}^n k_i x_i^t
则 f(t) 在 \mathbb R 上是严格凸函数。因此 f 要么单调，要么先减后增——恰有一个极小值点。
具体而言，任取 a<b<c<d，有：
- 若 f(a)\le f(c)，则 f(b)\le f(c)\le f(d)；
- 若 f(b)\ge f(d)，则 f(a)\ge f(b)\ge f(c)。
证明. 记 \alpha_i=\ln x_i，则 x_i^t=e^{\alpha_i t}。计算一、二阶导数：
f'(t)=\sum k_i\alpha_i e^{\alpha_i t},\qquad f''(t)=\sum k_i\alpha_i^2 e^{\alpha_i t}
因 k_i>0、e^{\alpha_i t}>0 且至少有一个 x_i\neq1（即 \alpha_i\neq0），故 f''(t)>0 恒成立，f 严格凸。以上两条结论均为凸性的直接推论。\square
注. 若所有 x_i>1，则 f 严格递增；若所有 x_i<1，则 f 严格递减；若兼而有之，则 f 先减后增。
不等式证明
划分思想
以幂平均不等式的证明为例，说明如何利用幂序不等式。
幂序不等式断言：形如 f(t)=\sum k_i x_i^t 的函数是严格凸的。若再满足 f(0)=f(s)，则 f 在 0 与 s 处取值相等，由凸性可知——对于 0<r<s 有 f(r)\le f(0)=f(s)；对于 r<0 有 f(r)\ge f(0)=f(s)。
若要证明 M_r\le M_s，可尝试构造 f(t)=\sum k_i x_i^t 使其满足 f(0)=f(s)，然后将 f(r) 与 M_r、M_s 相关联。一旦建立这种关联，凸性给出的 f(r) 与端点值的大小关系便可转化为 M_r 与 M_s 的大小关系。
因此核心问题在于：如何选择 k_i 和 x_i，使 f(0)=f(s) 成立，同时 f(r) 能表达 M_r？ 下面通过三个尝试来探索。
尝试一. 取 k_i=1/n、x_i=a_i，则 f(t)=\frac1n\sum a_i^t。此时 f(0)=1，而 f(s)=M_s^s\neq1（除非 M_s=1），不满足条件。
尝试二. 保留 x_i=a_i，调整 k_i。条件 f(0)=f(s) 给出 \sum k_i=\sum k_i a_i^s，即 \sum k_i(1-a_i^s)=0。这需针对 a_i 解出 k_i，运算繁琐。
尝试三. 取 k_i=1/n，调整 x_i。设 x_i=a_i/M，则 f(t)=\frac1n\sum (a_i/M)^t。此时
f(0)=\frac1n\sum 1=1,\qquad f(s)=\frac1n\sum\left(\frac{a_i}{M}\right)^{!s}
条件 f(0)=f(s) 给出 \frac1n\sum(a_i/M)^s=1，即 M^s=\frac1n\sum a_i^s。记 C=\frac1n\sum a_i^s，则 M=C^{1/s}——正是 M_s。
至此得到正确的构造：f(t)=\frac1n\sum(a_i/M_s)^t。注意 M_s 是推导的结果，而非前提。下面直接用此形式证明。
一、幂平均不等式
幂平均不等式（Power Mean Inequality）.
对正实数 a_1,\dots,a_n 及实数 r<s，有
M_r\le M_s,\qquad M_t=\left(\frac1n\sum_{i=1}^n a_i^{,t}\right)^{!1/t};(t\neq0), \quad M_0=\Bigl(\prod_{i=1}^n a_i\Bigr)^{!1/n}
即幂平均函数 t\mapsto M_t 关于 t 单调递增。
证明. 不妨设 s>0（s<0 的情形同理）。以 M_s 为基准，引入规范化辅助函数
f(t)=\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac{a_i}{M_s}\right)^{!t}
直接验证 f(0)=f(s)=1。f 具有幂序不等式的标准形式（k_i=1/n，x_i=a_i/M_s），故 f 在 \mathbb R 上严格凸。
将 M_r 用 f(r) 表示：
M_r=\left(\frac1n\sum a_i^r\right)^{!1/r} =M_s\cdot\left(\frac1n\sum\left(\frac{a_i}{M_s}\right)^{!r}\right)^{!1/r} =M_s\cdot f(r)^{1/r}
于是 M_r\le M_s 等价于 f(r)^{1/r}\le1。由 f 的严格凸性及 f(0)=f(s) 可得：
- 若 0<r<s，则 f(r)\le1，又 1/r>0，故 f(r)^{1/r}\le1；
- 若 r<0，则 f(r)\ge1，但 1/r<0，故 f(r)^{1/r}\le1。
两种情形均有 f(r)^{1/r}\le1，即 M_r\le M_s。等号成立当且仅当诸 a_i 全相等。\square
二、加权幂平均不等式
加权幂平均不等式（Weighted Power Mean Inequality）.
设 w_1,\dots,w_n>0 且 \sum w_i=1，则对 r<s 有
M_r\le M_s,\qquad M_t=\Bigl(\sum w_i a_i^{,t}\Bigr)^{!1/t}
证明. 以 M_s 为基准，引入规范化辅助函数
f(t)=\sum w_i\left(\frac{a_i}{M_s}\right)^{!t}
则 f(0)=\sum w_i=1，f(s)=\displaystyle\sum w_i\frac{a_i^s}{M_s^s}=1。f 具有幂序不等式的标准形式（k_i=w_i，x_i=a_i/M_s），故严格凸。
将 M_r 用 f(r) 表示：
M_r=\Bigl(\sum w_i a_i^r\Bigr)^{!1/r}=M_s\cdot\Bigl(\sum w_i\Bigl(\frac{a_i}{M_s}\Bigr)^{!r}\Bigr)^{!1/r}=M_s\cdot f(r)^{1/r}
由 f(0)=f(s) 及 f 的严格凸性：
- 若 0<r<s，则 f(r)\le1，又 1/r>0，故 f(r)^{1/r}\le1；
- 若 r<0，则 f(r)\ge1，但 1/r<0，故 f(r)^{1/r}\le1。
因此总有 M_r\le M_s。等号成立当且仅当诸 a_i 全相等。\square
注. 当 w_i=1/n 时退化为经典的幂平均不等式。
三、赫尔德不等式
赫尔德不等式（Hölder Inequality）.
设 p,q>1，\dfrac1p+\dfrac1q=1，则
\sum_{i=1}^n |x_i y_i|\le\Bigl(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\Bigr)^{!1/p}\Bigl(\sum_{i=1}^n |y_i|^q\Bigr)^{!1/q}
证明. 令 A=\sum|x_i|^p、B=\sum|y_i|^q，构造辅助函数
f(t)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{|x_i|^p}{A}\right)^{!t}\left(\frac{|y_i|^q}{B}\right)^{!1-t}
易得
f(0)=\sum\frac{|y_i|^q}{B}=1,\qquad f(1)=\sum\frac{|x_i|^p}{A}=1
将 f(t) 改写为幂序不等式的标准形式：
f(t)=\sum_{i=1}^n\frac{|y_i|^q}{B}\cdot\left(\frac{|x_i|^pB}{|y_i|^qA}\right)^{!t}
即 k_i=|y_i|^q/B、x_i=|x_i|^pB/|y_i|^qA。由幂序不等式知 f 在 \mathbb R 上严格凸。
对满足 f(0)=f(1)=1 的严格凸函数，在区间 [0,1] 上恒有 f(t)\le1。特别地，取 t=1/p 得
f!\left(\frac1p\right)=\sum\left(\frac{|x_i|^p}{A}\right)^{!1/p}\left(\frac{|y_i|^q}{B}\right)^{!1/q}\le1
即
\sum|x_i y_i|\le A^{1/p}B^{1/q} =\Bigl(\sum|x_i|^p\Bigr)^{!1/p}\Bigl(\sum|y_i|^q\Bigr)^{!1/q}
\square
总结
幂序不等式的核心洞察是：形如 \sum k_i x_i^t 的函数具有严格凸性，因此其单调行为至多只有一个极小值点。 利用此性质，构造满足 f(0)=f(s) 的辅助函数，即可统一证明如下经典不等式。
| 不等式 | 辅助函数 f(t) | 条件 f(0)=f(s) |
|——–|—————-|——————|
| 幂平均不等式 | \displaystyle\frac1n\sum\bigl(\frac{a_i}{M_s}\bigr)^t | f(0)=f(s)=1 |
| 加权幂平均不等式 | \displaystyle\sum w_i\bigl(\frac{a_i}{M_s}\bigr)^t | f(0)=f(s)=1 |
| 赫尔德不等式 | \displaystyle\sum\bigl(\frac{|x_i|^p}{A}\bigr)^t\bigl(\frac{|y_i|^q}{B}\bigr)^{1-t} | f(0)=f(1)=1 |
这一方法的步骤是：
- 构造函数 f(t)=\sum k_i x_i^t，使其具有幂序不等式的标准形式；
- 施加条件 f(0)=f(s)，确定 k_i 与 x_i 的关系；
- 利用凸性，由 f(0)=f(s) 推导 f(r) 与端点值的大小关系——0<r<s 时 f(r)\le f(0)，r<0 时 f(r)\ge f(0)；
- 联系原不等式，将 f(r) 翻译为 M_r 与 M_s 的关系，即得所欲证的不等式。
这套框架不仅给出了简洁的证明，更揭示了幂平均、赫尔德等不等式之间内在的统一性。